вход

Оглавление


16.8.  Инвариантная классификация метрик с нетривиальными изометриями

Некоторые из аффинных типов метрик, обладающих симметриями, являются аффинно-эквивалентными. Для выяснения вопроса об эквивалентности метрик из перечисленных выше 38 классам обратимся к (аффинно-)инвариантным свойствам их полей симметрий. Первичная классификация связана с размерностью алгебр симметрий. Группируя различные аффинные типы с одинаковыми размерностями алгебры симметрий, мы приходим к следующим заведомо не эквивалентным классам:
  1. класс аффинных типов с двумерной алгеброй симметрии, включающий случаи (первая цифра -- аффинный тип, вторая -- порядковый номер в соответствующем разделе): 1.1, 2.2, 2.6, 3.3, 3.5, 3.9,3.13, 4.9;
  2. класс аффинных типов с одномерной алгеброй симметрии, включающий случаи: 1.2, 2.1, 2.3, 2.4, 2.5, 3.1, 3.2, 3.4, 3.6, 3.7, 3.8, 3.10, 3.11, 3.12, 4.1,4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 6.1.
  3. тип 2.7 с бесконечно-мерной алгеброй симметрии;
  4. все, типы, которые не вошли в рассмотренные и которые не обладают нетривиальными симметриями;
  5. "очень специальные метрики", которые не входят ни в один из предыдущих пунктов.
Два последних класса целиком остаются за пределами нашего рассмотрения. Первые два класса допускают дальнейшую более детальную классификацию. Непосредственной проверкой убеждаемся, что коммутатор пары векторных полей симметрий метрик первого класса равен:
  1. 0, для случаев 1.1, 2.2, 3.5;
  2. $ \partial_1$ -- для случая 3.3;
  3. $ (3/2)X_2$ для случаев 2.6, 3.9, 3.13, 4.9.
Таким образом, приходим к заключению, что группы метрик $ \{1.1,2.2,3.5\},$ $ \{3.3\}$ и $ \{2.6, 3.9, 3.13, 4.9\}$ аффинно-неэквивалентны. Оказывается, что аффинные типы внутри каждой группы аффинно-эквивалентны. Для доказательства достаточно привести явный вид координатных преобразований, обнаруживающих эту эквивалентность. В первой группе будем приводить все метрики к виду метрики Бервальда-Моора 1.1. Соответствующие преобразования имеют в своей простейшей реализации следующий вид:

$\displaystyle h= \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&-1/2\\ 0&0&1 \end{array}\right)$   для 2.2$\displaystyle ,\quad h= \left(\begin{array}{ccc} 1&0&-1/2\\ 0&1&-1/2\\ 0&0&1 \end{array}\right)$   для 3.5$\displaystyle . $

Соответствующие преобразования для второй группы метрик, приводящие их к виду 2.6 (возможно, с точностью до переобозначения координат), имеют вид:

$\displaystyle h= \left(\begin{array}{ccc} 1&0&-1/3\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) $   для 3.9$\displaystyle ,\ h= \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ -1&0&1 \end{array}\right) $   для 3.13$\displaystyle ,\ h= \left(\begin{array}{ccc} 1&0&-1/3\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array}\right)$   для 4.9$\displaystyle . $

Перейдем к классу аффинных типов с одномерной алгеброй симметрий. Грубая классификация этих типов заключается в сравнении простейшего аффинного инварианта этих алгебр -- дивергенции соответствующего векторного поля: div$ X\equiv\partial_iX^i.$ Элементарное вычисление обнаруживает, что div$ X=0$ для случаев: 2.1, 2.5, 3.1, 3.2, 3.4, 3.6, 3.8, 3.11, 3.12, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.7, 5.1, 5.3, 5.4, 5.5, 6.1 и div$ X=$const$ \neq0$ для случаев 1.2, 2.3, 2.4, 3.7, 3.10, 4.5, 4.6, 4.8, 5.2. Таким образом, аффинные типы, взятые из различных перечисленных здесь групп аффинно-неэквивалентны. Для дальнейшей более детальной классификации типов внутри групп необходимо сравнивать другие аффинные инварианты. Для их построения учтем, что все векторные поля симметрий рассматриваемых типов имеют линейные и однородные по координатам компоненты. Каждому векторному полю такого вида можно поставить в соответствие матрицу векторного поля, определяемую соотношением:

$\displaystyle X^\alpha=A^\alpha_\beta x^\beta, $

где $ A_\beta^\alpha$ -- вещественные числа. Из этого определения вытекает, что $ A$ -- аффинный тензор валентности $ (1,1).$ Его аффинными инвариантами будут, например, следующие величины:

$\displaystyle I_1\equiv$Tr$\displaystyle (A),\quad\dots, I_n\equiv$Tr$\displaystyle (A^n);\quad \Delta\equiv\det(A). $

Отметим, что div$ X=I_1.$ У эквивалентных метрик должны выполняться условия коллинеарности:

$\displaystyle \sqrt[n]{\frac{I_n}{I'_n}}=\sqrt[3]{\frac{\Delta}{\Delta'}}=C=$const (115)
для всех $ n=1,\dots,$ где $ \{I_n,\Delta\}$ -- система инвариантов одной метрики, $ \{I'_n,\Delta\}$ -- система инвариантов другой. Можно построить и другие инварианты, но для наших целей достаточно перечисленных. Для класса метрик с div$ X\neq0$ матрицы векторного поля и соответствующие инварианты имеют вид:

\begin{displaymath} 1.2:\quad \left( \begin{array}{ccc} -2&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0... ...\\ 0&0&-1/2 \end{array}\right), I_n=\frac{1+(-2)^n}{(-2)^n}; \end{displaymath}

\begin{displaymath} 2.4:\quad \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ -1&-2&0\\ 0&0&... ...} 1&0&0\\ 0&0&0\\ -1&0&-2 \end{array}\right), I_n=1+(-2)^n; \end{displaymath}

\begin{displaymath} 3.10:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&1&0\\ -2\ep... ...&0&0\\ -B&0&0\\ 0&2B^2&-2 \end{array}\right), I_n=1+(-2)^n; \end{displaymath}

\begin{displaymath} 4.6:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 2B&1&-... ...(C^2\mp1)&-2&\pm C\\ 0&0&1 \end{array}\right), I_n=1+(-2)^n; \end{displaymath}

\begin{displaymath} 5.2:\quad \left( \begin{array}{ccc} -2&2(C_3^2-B_3)&B_3C_3-1\\ 0&0&-C_3\\ 0&0&1 \end{array}\right), I_n=1+(-2)^n. \end{displaymath}

Очевидно, что условия (115) выполняются для всех метрик из группы с div$ X=I_1\neq0.$ Для группы метрик с div$ X=I_1=0$ матрицы соответствующих векторных полей и аффинные инварианты имеют следующий вид (инвариант $ \Delta$ выписывается только в случае, когда он отличен от нуля):

\begin{displaymath} 2.1:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1... ...\end{array}\right), I_n=1+\frac{(-1)^n}{2^{n-1}}, \Delta=1/4 \end{displaymath}

\begin{displaymath} 3.1:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-1&-... ...0&0&0\\ 0&1&0\\ -1/2&0&-1 \end{array}\right), I_n=1+(-1)^n; \end{displaymath}

\begin{displaymath} 3.4:\quad \left( \begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 0&0&0\\ 0&-1/2... ...&-1/2&0\\ 0&0&0\\ 0&1/2&1 \end{array}\right), I_n=1+(-1)^n; \end{displaymath}

\begin{displaymath} 3.8:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&-\ep... ...d{array}\right), I_n=(-\epsilon_1\epsilon_2)^{n/2}(1+(-1)^n); \end{displaymath}

\begin{displaymath} 3.11:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1\\ \mp1/2&\mp1&0 \end{array}\right), I_n=(\mp1)^{n/2}(1+(-1)^n); \end{displaymath}

\begin{displaymath} 3.12:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 0&0&0\\ -1&-1/2&0 \end{array}\right), I_n=(-1)^{n/2}(1+(-1)^n);\quad \end{displaymath}

\begin{displaymath} 4.1:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&\epsilon_2F&1... ...{array}\right), I_n=(F-\epsilon_1\epsilon_2)^{n/2}(1+(-1)^n); \end{displaymath}

\begin{displaymath} 4.2:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ -1/2F&-1&0\\ 0&\pm1/F&1 \end{array}\right), I_n=(1+(-1)^n);\quad \end{displaymath}

\begin{displaymath} 4.3:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ \mp1/2&\mp F&\m... ... 0&1&\pm F \end{array}\right), I_n=(F^2\mp1)^{n/2}(1+(-1)^n); \end{displaymath}

\begin{displaymath} 4.4:\quad \left( \begin{array}{ccc} 1&0&1/2F\\ -1/F&-1&-1/2F\\ 0&0&0 \end{array}\right), I_n=1+(-1)^n;\quad \end{displaymath}

\begin{displaymath} 4.7:\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1\\ -\epsi... ...d{array}\right), I_n=(-\epsilon_1\epsilon_2)^{n/2}(1+(-1)^n); \end{displaymath}

\begin{displaymath} 5.1\quad \left( \begin{array}{ccc} 0&2C_3&1\\ -2C_2&0&-1\\ 0&0&0 \end{array}\right), I_n=(-4C_2C_3)^{n/2}(1+(-1)^n);\quad \end{displaymath}

\begin{displaymath} 5.3:\quad \left( \begin{array}{ccc} 2/B_3&2/B_3&1\\ -2/B_3&-2/B_3&B_2/B_3\\ 0&0&0 \end{array}\right), I_n=0; \end{displaymath}

\begin{displaymath} 5.4\quad \left( \begin{array}{ccc} -1/C_2&-C_2/C_3&-1/2C_2\\... ...nd{array}\right), I_n=(1/C_2^2-C_2/C_3)^{n/2}(1+(-1)^n);\quad \end{displaymath}

\begin{displaymath} 5.5:\quad \left( \begin{array}{ccc} -2&-2C_3&-B_3\\ 0&2&1\\ 0&0&0 \end{array}\right), I_n=4^{n/2}(1+(-1)^n); \end{displaymath}

\begin{displaymath} 6.1\quad \left( \begin{array}{ccc} 2F&2C_3&-B_3\\ -2C_2&-2F... ...0&0&0 \end{array}\right), I_n=2^n(F^2-C_2C_3)^{n/2}(1+(-1)^n) \end{displaymath}

Сравнительное исследование серий инвариантов обнаруживает следующие потенциальные классы аффинно-эквивалентных метрик:
  1. {2.1, 3.1, 3.2, 3.4, 3.6, 3.8 $ (\epsilon_1\epsilon_2<0)$ , 3.11 ($ -$ в метрике), 4.1 $ (F>\epsilon_1\epsilon_2)$ , 4.2, 4.3 $ (F^2>\pm1)$ , 4.4, 4.7 $ (\epsilon_1\epsilon_2<0)$ , 5.1 $ (C_2C_3<0)$ , 5.4 $ (1/C_2^2-C_2/C_3>0)$ , 5.5, 6.1 $ (F^2>C_2C_3)$ };
  2. {3.8 $ (\epsilon_1\epsilon_2>0)$ , 3.11 ($ +$ в метрике), 3.12, 4.1 $ (F<\epsilon_1\epsilon_2)$ , 4.3 $ (F^2<\pm1)$ , 4.7 $ (\epsilon_1\epsilon_2>0)$ , 5.1 $ (C_2C_3>0)$ , 5.4 $ (1/C_2^2-C_2/C_3<0)$ , 6.1 $ (F^2<C_2C_3)$ };
  3. {4.1 $ (F=\epsilon_1\epsilon_2)$ , 4.3 $ (F^2=+1)$ ("+" в метрике), 5.3, 5.4 $ (1/C_2^2=C_2/C_3)$ , 6.1 $ (F^2=C_2C_3)$ };
  4. {2.5}.
Приведем простейший явный вид матриц преобразования, связывающих метрики внутри классов аффинной-эквивалентности. Внутри класса с div$ X\neq0$ :

\begin{displaymath} (2.3)\to(1.2): h= \left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&1&0\... ...\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (3.7)\to(2.3): h= \left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1/3\\ 0&1... ...\begin{array}{ccc} 1&0&-3\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (4.5)\to(3.7): h= \left( \begin{array}{ccc} 1&-B&1\\ 0&1&B... ...\begin{array}{ccc} 1&0&-B\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (4.8)\to(2.3): h= \left( \begin{array}{ccc} 1&C^2\mp1&0\\ 0&1&0\\ -C&C(-2C^2/3\pm1)&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (5.2)\to(2.3): h= \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ C^2_3-B_3&1&0\\ -2C^3_3/3+C_3B_3-1/3&-C_3&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

Отметим, что метрики (1.2) и (2.4) -- вырожденные, поэтому они могут быть связаны друг с другом невырожденным преобразованием, а с остальными метриками рассматриваемого класса -- нет. Внутри класса с div$ X=0$ преобразования, связывающие различные метрики имеют вид8:

\begin{displaymath} (3.1)\to(2.1): h= \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&\m... ...egin{array}{ccc} 1&0&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (3.4)\to(2.1): h= \left( \begin{array}{ccc} 1&-2&1\\ 1&0&0... ...\begin{array}{ccc} 1&-2&1\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (3.8, \epsilon_1\epsilon_2<0)\to(2.1): h= \left( \begin{ar... ...begin{array}{ccc} -2&1&0\\ 0&1&-1\\ 0&1&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (4.1, \epsilon_1=1=-\epsilon_2)\to(3.1): h= \left( \begin{... ...gin{array}{ccc} -2&1&\mp1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (4.3,-)\to(3.4): h= \left( \begin{array}{ccc} 0&1&1\\ \mp(1+\sqrt{1\mp1})&0&0\\ 0&1&0 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (4.4)\to(3.4): h= \left( \begin{array}{ccc} 0&\mp(1+\sqrt{1\mp1})&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (4.7,\epsilon_1\epsilon_2<0)\to(3.8): h= \left( \begin{array}{ccc} \mp2/C&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (5.1,C_2C_3<0)\to(4.2): h= \left( \begin{array}{ccc} 1&0&1\\ (2C_2+1)C_3/C_2&1&0\\ 1&-(2C_2+1)&0 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (5.4,1/C_2^2-C_2/C_3>0)\to(5.1): h= \left( \begin{array}{ccc} -(C_3+1)/(C_2+1)&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

\begin{displaymath} (5.5)\to(5.1): h= \left( \begin{array}{ccc} -C_3&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \end{displaymath}

$ (6.1,F^2-C_2C_3>0)\to(5.5):$

\begin{displaymath}h= \left( \begin{array}{ccc} -(F+\sqrt{F^2-C_2C_3})/C_2&1&0\\... ...C_3})F/C_2+C_3\right]/\sqrt{F^2-C_2C_3}&1&0 \end{array}\right) \end{displaymath}

Аналогичный вид имеют и остальные преобразования для метрик с неположительными значениями инвариантов $ I_n.$ Подводя итоги нашего исследования, можно заключить, что все однородные кубические метрики общих аффинных типов делятся на 9 аффинно-неэквивалентных классов:
  1. класс метрик БМ $ \{1.1,2,2,3.5\}$ (2-мерная абелева алгебра нетривиальных изометрий);
  2. класс $ \{3.3\}$ (2-мерное неабелево подмножество нетривиальных изометрий, не образующее подалгебры);
  3. класс $ \{2.6, 3.9, 3.13, 4.9\}$ (2-мерная неабелева алгебра нетривиальных изометрий);
  4. класс $ \{2.7\}$ (бесконечномерная алгебра изометрий);
  5. класс $ \{1.2,2.3,2.4,3.7,3.10,4.5,4.6,4.8,5.2\}$ (одномерная алгебра нетривиальных изометрий $ I_1\neq0$ );
  6. класс $ \{2.1, 3.1, 3.2, 3.4, 3.6, 3.8 (\epsilon_1\epsilon_2<0), 3.11 (- $   в метрике$ ), 4.1 (F>\epsilon_1\epsilon_2), 4.2, 4.3 (F^2>\pm1), 4.4, 4.7 (\epsilon_1\epsilon_2<0), 5.1 (C_2C_3<0), 5.4\ (1/C_2^2-C_2/C_3>0), 5.5, 6.1 (F^2>C_2C_3)\}$ (одномерная алгебра нетривиальных изометрий, $ \Delta=0,$ $ I_n=C^{n/2}(1+(-1)^n), C=$const ;
  7. класс $ \{3.8 (\epsilon_1\epsilon_2>0), 3.11 (+ $   в метрике$ ), 3.12, 4.1 (F<\epsilon_1 \epsilon_2), 4.3 (F^2<\pm1), 4.7 (\epsilon_1\epsilon_2>0), 5.1 (C_2C_3>0), 5.4\ (1/C_2^2-C_2/C_3<0), 6.1 (F^2<C_2C_3)\}$ (одномерная алгебра нетривиальных изометрий, $ \Delta=0,$ $ I_n=(-C)^{n/2}(1+(-1)^n),$ $ C=$const );
  8. класс $ \{4.1 (F=\epsilon_1\epsilon_2), 4.3, (F^2=+1) (+ $   в метрике$ ), 5.3, 5.4\ (1/C_2^2=C_2/C_3), 6.1 (F^2=C_2C_3)\}$ (одномерная алгебра нетривиальных изометрий $ \Delta=0,$ $ I_n=0$ );
  9. класс $ \{2.5\}$ (одномерная алгебра нетривиальных изометрий $ \Delta=1/4,$ $ I_n=1+(-1)^n/2^{n-1}.$ ).
След.: 16.9.  Аффинно-специальные метрики Выше: 16.  Применения производной Ли Пред.: 16.7.  Метрики с