вход

Оглавление


6.  Отображения многообразий и геометрических объектов

При отображении многообразий различные геометрические объекты можно "переносить" с одних многообразий на другие. Пусть $ h$ : $ \mathcal{M}\to\mathcal{N}$ -- отображение многообразий. $ h$ является гладким отображением, если его координатное представление является гладким в смысле обычного анализа. Более подробно, если $ (U,\varphi)$ карта из At$ (\mathcal{M}),$ а $ (V,\psi)$ карта из $ \mathbf{At}(\mathcal{N}),$ такие что $ V\cap h(U)\neq\varnothing,$ то на $ U\cap h^{-1}(V\cap h(U))$ определено координатное представление отображения $ h_{UV}: R^m\to R^n$ по формуле:

$\displaystyle h_{UV}(x_p)\equiv\psi\circ h\circ\varphi^{-1}(x_p)\in R^n.$ (16)
Отображение $ h$ гладко, если функция $ h_{UV}$ -- гладкая для всех пар $ \{U,V\}\in$At$ (\mathcal{M})\times \mathbf{At}(\mathcal{N}),$ для которых $ V\cap h(U)\neq\varnothing.$ Наглядно формула (16) иллюстрируется диаграммой (17): справедливость формулы (16) эквивалентна коммутативности этой диаграммы.

$\displaystyle \begin{CD}\mathcal{M}_m@>h»\mathcal{N}_n @V\varphi VV@VV \psi V R^m @>h_{UV}»R^n \end{CD}\vrule depth15pt width0pt$ (17)
Конструкция координатного представления допускает некоторое обобщение. Пусть $ f\in\mathfrak{F}(\mathcal{N})$ и $ h$ -- гладкое отображение $ \mathcal{M}_m\to\mathcal{N}_n.$ Тогда на $ \mathcal{M}_m$ с помощью формулы

$\displaystyle f_h\equiv f\circ h$ (18)
определена гладкая функция $ f_h\in\mathfrak{F}(\mathcal{M}).$ Другими словами, при гладких отображении многообразий гладкие функции "переносятся" в противоположную сторону -- с образа на прообраз. А как переносятся векторы при отображениях многообразий? Рассмотрим некоторый вектор $ X_p\in T_p\mathcal{M}.$
Всякое гладкое отображение $ h$ : $ \mathcal{M}\to\mathcal{N}$ определяет в каждой точке $ p\in\mathcal{M}$ отображение $ (h_\ast)$ : $ T_p\mathcal{M}\to T_{h(p)}\mathcal{N},$ которое называется дифференциалом отображения $ h$ в точке $ p$ и действует по правилу:

$\displaystyle (h_\ast)(X_p)(f)\equiv X_p(f_h)=X_p(f\circ h)$ (19)
для всякой $ f\in\mathfrak{F}(\mathcal{N}).$
Другими словами, при отображении $ h$ всякий вектор $ X_p$ как дифференцирование на $ \mathcal{M}$ переходит в вектор-дифференцирование $ (h_\ast)_p(X_p)$ на $ \mathcal{N},$ таким образом, что результат дифференцирования им произвольной функции $ f$ совпадает с результатом дифференцирования исходного вектора перенесенной на многообразие $ \mathcal{M}$ функции $ f_h.$ В силу своего определения дифференциал отображения $ h_\ast$ является линейным отображением касательных пространств. Чтобы установить его координатное представление, перейдем к координатам в базисах $ \partial/\partial x\vert _p$ и $ \partial/\partial y\vert _{h(p)}.$ По определению дифференциала имеем:

$\displaystyle (h_\ast)(X_p)(f)=[(h_\ast)(X_p)]^\alpha\left.\frac{\partial f}{\p... ...vert _{h(p)} \left.\frac{\partial y^\beta}{\partial x^\alpha}\right\vert _{p}, $

откуда, в силу произвольности $ f$ и произвольности точки $ p$ следует координатное представление $ h_\ast$ :

$\displaystyle [(h_\ast)(X)]_{h(p)}^\alpha=\left.\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\beta}\right\vert _pX^\beta_p.$ (20)
Мы видим, что дифференциал отображения $ h$ в каждой точке многообразия $ \mathcal{M}$ в действительности осуществляет линейное отображение касательных пространств $ T_p\mathcal{M}\to T_{h(p)}\mathcal{N}$ посредством $ n\times m$ матрицы преобразования $ (\partial y/\partial x),$ называемой матрицей Якоби, компоненты которой зависят от точки. Диаграмма (21) наглядно иллюстрирует действие дифференциала отображения: определение (19) эквивалентно коммутативности этой диаграммы.

\begin{CD} \mathcal{M}_m@>h»\mathcal{N}_n\\ @A\pi_{\mathcal{M}} AA@AA \pi_{\mathcal{N}} A\\ T\mathcal{M} @>h_{\ast}»T\mathcal{N} \end{CD}
(21)
Отображения $ \pi_\mathcal{M}$ и $ \pi_\mathcal{N}$ на диаграмме -- это естественные проекции касательных расслоений этих многообразий, действующие по правилам:

$\displaystyle \pi_{\mathcal{M}}: T\mathcal{M}\ni(p,X_p)\mapsto p;\quad \pi_{\mathcal{N}}: T\mathcal{N}\ni(q,Y_q)\mapsto q. $

Перейдем к рассмотрению поведения 1-форм при отображениях. Нетрудно понять, что, как и функции, 1-формы "переносятся" отображениями $ h:\mathcal{M}_m\to\mathcal{N}_n$ в "обратную сторону", по той простой причине, что 1-формы -- это и есть функции на векторах. Действительно,
если $ \omega\in \mathfrak{V}^\ast(\mathcal{N}),$ то в каждой точке $ q=h(p)\in\mathcal{N}$ корректно определено отображение $ h^\ast_q$ : $ T_q^\ast\mathcal{N}\to T_p^\ast(\mathcal{M}),$ называемое кодифференциалом отображения $ h$ в точке $ p,$ действующее на всяком $ Y_q\in T_q\mathcal{N}$ по правилу:

$\displaystyle h^\ast(\omega_{q})(X_p)\equiv\omega_p((h_\ast)(X_p)).$ (22)

Другими словами, значение образа кодифференциала некоторой 1-формы на любом векторе пространства $ T_p(\mathcal{M})$ равно значению исходной 1-формы на образе дифференциала этого вектора. В координатах согласно определению (22) будем иметь:

$\displaystyle h^\ast(\omega_{q})(X_p)=[h^\ast(\omega_{q})]_\alpha X^\alpha_p \e... ...\beta\left.\frac{\partial y^\beta}{\partial x^\alpha}\right\vert _pX_p^\alpha, $

откуда ввиду произвольности $ p$ и $ X_p$ получаем координатное представление действия кодифференциала:

$\displaystyle [h^\ast(\omega)]_\alpha=\frac{\partial y^\beta}{\partial x^\alpha}\omega_\beta.$ (23)
Мы видим, что кодифференциал $ h^\ast$ отображения $ h$ в каждой точке многообразия $ \mathcal{N}$ осуществляет линейное отображение кокасательных пространств $ T^\ast_{h(p)}\mathcal{N}\to T_{p}\mathcal{M}$ посредством $ m\times n$ матрицы преобразования $ (\partial y/\partial x)^$T$ ,$ которую можно назвать сопряженной матрицей Якоби. Диаграмма (24) наглядно иллюстрирует действие кодифференциала отображения: определение (22) эквивалентно коммутативности этой диаграммы.

\begin{CD} \mathcal{M}_m@>h»\mathcal{N}_n\\ @A\pi^\ast_{\mathcal{M}} AA@AA \pi^\ast_{\mathcal{N}} A\\ T\mathcal{M} @<h^{\ast}«T\mathcal{N} \end{CD}
(24)
Отображения $ \pi^\ast_\mathcal{M}$ и $ \pi^\ast_\mathcal{N}$ на диаграмме -- это проекции кокасательных расслоений этих многообразий, действующие по правилам:

$\displaystyle \pi^\ast_{\mathcal{M}}: T^\ast\mathcal{M}\ni(p,\omega_p)\mapsto p;\quad \pi^\ast_{\mathcal{N}}: T^\ast\mathcal{N}\ni(q,\omega_q)\mapsto q. $

Отображения дифференциала и кодифференциала легко обобщаются на тензоры специальных типов. Пусть как и прежде $ h:\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ и пусть $ T_1\in\mathcal{T}^{(0,s)}(\mathcal{M})$ и $ T_2\in\mathcal{T}^{(r,0)}(\mathcal{N}).$ Тогда определены отображения

$\displaystyle (h_\ast)_p^{\otimes s}: \mathcal{T}^{(0,s)}_p(\mathcal{M})\to\mat... ... \mathcal{T}^{(r,0)}_{h(p)}(\mathcal{N})\to\mathcal{T}^{(r,0)}_p(\mathcal{M}), $

называемые соответственно $ s$ -ой и $ r$ -ой тензорными степенями дифференциала и кодифференциала в точке $ p$ , действующие на соответствующие тензоры по правилам:

$\displaystyle (h_\ast)^{\otimes s}_p(T_1)(\omega_1,\dots,\omega_s)\equiv T_1(h^\ast(\omega_1),\dots,h_\ast(\omega_s));$ (25)

$\displaystyle (h^\ast)^{\otimes r}_{h(p)}(T_2)(X_1,\dots,X_r)\equiv T_2(h_\ast(X_1),\dots, h_\ast(X_r))$ (26)
для всех $ \omega_i\in T_{h(p)}^\ast\mathcal{N},$ и всех $ X_j\in T_p\mathcal{M}.$ В координатах эти отображения будут выражаться формулами:

$\displaystyle (T_{1})_{h(p)}^{\alpha_1\dots\alpha_s}= \left.\frac{\partial y^{\... ...r}}{\partial x^{\alpha_r}}\right\vert _p (T_2)_{h(p)}{}_{\beta_1\dots,\beta_r}.$ (27)
Тензоры смешанного типа, вообще говоря, никуда не переносятся отображениями многообразий. Сделаем несколько замечаний к этому параграфу.
  1. Гладкие функций на $ \mathcal{N}$ можно понимать как элементы $ \mathcal{T}^{(0,0)}(\mathcal{N}).$ Таким образом, комбинация формул (18) и (26) дает:

    $\displaystyle (h^\ast)^{\otimes 0}(f)\equiv f_h. $

    Иногда вместо $ f_h$ используют запись $ h^\ast f$ для перенесенной на $ \mathcal{M}$ при отображении $ h$ функции $ f.$
  2. Мы определяли и рассматривали отображения дифференциала и кодифференциала в точке. Можно ли говорить об отображениях тензорных полей? Как показывают простые примеры, в общем случае этого сделать нельзя. Предположим, что на $ \mathcal{M}$ задано векторное поле $ X$ и пусть отображение $ h$ : $ \mathcal{M}\to\mathcal{N}$ таково, что $ h(p_1)=h(p_2)$ при $ p_1\neq p_2.$ Поскольку, в общем случае, $ (h_\ast)_{p_1}(X_{p_1})\neq(h_\ast)_{p_2}(X_{p_2})$ (рассмотрите в качестве примера отображение $ x\mapsto\sin x$ в точках $ x_1 =\pi/4$ и $ x_2=3\pi/4$ ), то говорить об отображениях векторных полей в такой ситуации нельзя! Замечательным фактом теории отображений гладких многообразий является существование отображения полей 1-форм и тензоров типа $ \mathcal{T}^{(r,0)}(\mathcal{N})$ на многообразие $ \mathcal{M}$ при любых гладких отображениях $ h$ ! (Проверьте это!)
  3. Отображение $ h$ называется диффеоморфизмом, если оно взаимно-однозначно, гладко и имеет гладкое обратное. Диффеоморфизм часто можно понимать в активном смысле как гладкую деформацию самого многообразия, т.е. как отображение $ \mathcal{M}\to\mathcal{M}.$ Примером диффеоморфизма является замена координат на многообразии (при этом условие обратимости и гладкости, а значит и диффеоморфности может нарушаться в отдельных точках, на линиях или поверхностях -- как говорят, на множестве точек меры нуль). Для координатного диффеоморфизма всегда существует обратное и матрица Якоби обратима. При этом формулы (20),(23) и (27) по существу переходят в законы преобразования компонент соответствующих геометрических объектов при замене координат.
  4. Для диффеоморфизма $ \phi:\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ всегда существует $ (r,s)$ -дифференциал отображения $ \phi_{(r,s)}$ и обратный $ \phi_{(r,s)}^{-1},$ переводящие соответственно тензорные поля $ T\in\mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M})$ в поля $ T\in\mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{N})$ и наоборот и определяемые соотношениями:

    $\displaystyle \phi_{(r,s)p}\equiv \underbrace{(h_\ast)_p\otimes\dots\otimes (h_... ...e{(h^\ast)_p^{-1}\otimes\dots\otimes (h^\ast)_p^{-1}}\limits_{r\quad\text{раз}}$ (28)

    $\displaystyle \phi_{(r,s)p}^{-1}\equiv \underbrace{(h_\ast)_p^{-1}\otimes\dots\... ...\underbrace{(h^\ast)_p\otimes\dots\otimes (h^\ast)_p}\limits_{r\quad\text{раз}}$ (29)
  5. Можно сказать, что дифференциал отображения, рассматриваемый в некоторой точке, является локальной версией самого отображения в этой точке. Более точно, дифференциал отображения $ h_\ast$ является линейной аппроксимацией отображения $ h$ в каждой точке. Таким образом, основная идея дифференциального исчисления функций вещественных переменных остается в силе и на гладких многообразиях: "локально все отображения линейны". Следует подчеркнуть, что, как и в случае стандартного вещественного анализа, в особых точках отображения это свойство, вообще говоря, нарушается.
След.: 7.  Интегральные кривые векторных Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 5.  Тензоры