вход

Оглавление


5.  Тензоры

По аналогии с тем, как из переменных $ \{x^1,\dots, x^n\}$ можно строить однородные полиномы вида:

$\displaystyle P_1=a_ix^i;\quad P_2=a_{ij}x^ix^j;\quad\dots P_n=a_{i_1\dots i_n}x^1\cdot\dots\cdot x^n, $

где $ a_i,$ $ a_{ij},$ $ a_{i_1\dots i_n}$ -- наборы коэффициентов, из векторов и 1-форм на многообразии $ \mathcal{M}$ можно строить тензорные полиномы, вводя операцию $ \otimes$ тензорного произведения. В дальнейшем все конструкции являются локальными, т.е. должны определяться в точке. В настоящих лекциях, допуская для упрощения обозначений и сокращения объема некоторую вольность, мы будем сразу говорить про тензорные поля на многообразии, понимая под ними совокупность тензоров во всех точках многообразия и не делая различия между тензорными полями и тензорами.
Определим тензорное произведение $ \omega_1\otimes\omega_2$ двух 1-форм $ \omega_1$ и $ \omega_2$ как билинейную вещественнозначную функцию на векторных полях, действующую по правилу:

$\displaystyle (\omega_1\otimes\omega_2)(X,Y)=\omega_1(X)\omega_2(Y)$ (14)
при всех $ X,Y\in\mathfrak{V}(\mathcal{M}),$ причем

$\displaystyle (\omega_1\otimes\omega_2)(f X+g Y,Z)=f\omega_1(X)\omega_2(Z)+ g\omega_1(Y)\omega_2(Z), $

и

$\displaystyle (\omega_1\otimes\omega_2)(X,fY+gZ)=f\omega_1(X)\omega_2(Y)+ g\omega_1(X)\omega_2(Z) $

для всех $ X,Y,Z\in\mathfrak{V}(\mathcal{M})$ и всех $ f,g\in\mathfrak{F}(M)$ (свойство $ \mathfrak{F}(\mathcal{M})$ -линейности по обоим аргументам).
Определенное таким образом тензорное произведение двух 1-форм является простейшим представителем -- так называемым, простым или разложимым -- пространства $ \mathcal{T}^{(2,0)}(\mathcal{M})$ тензоров валентности $ (2,0),$ которые можно определить как $ \mathfrak{F}(\mathcal{M})$ -билинейные функции на парах векторов из $ \mathfrak{V}(\mathcal{M})\times\mathfrak{V}(\mathcal{M}).$ Общий элемент из этого пространства, вообще говоря, не является простым или разложимым, т.е. его, в общем случае, нельзя представить в виде тензорного произведения двух 1-форм. Оказывается, что его всегда можно представить в виде линейной комбинации простых тензоров такого вида. Для того, чтобы в этом убедиться, рассмотрим тензорные произведения координатных 1-форм: $ \omega_{ij}\equiv dx^i\otimes dx^j.$ Нетрудно показать, что они образуют базис в пространстве $ \mathcal{T}^{(0,2)}(\mathcal{M}).$ Действительно, предполагая их линейную зависимость, имеем линейную комбинацию $ a_{ij}\omega^{ij}=0.$ Это означает, что на любой паре векторов $ a_{ij}\omega^{ij}(X,Y)=0.$ Выбирая в качестве $ X$ и $ Y$ всевозможные пары координатных векторов $ \partial_i,$ в силу определения (14) операции $ \otimes$ и ее линейности получаем последовательно:

$\displaystyle a_{11}=0,\quad a_{12}=0,\quad\dots,a_{nn}=0, $

т.е. $ \omega^{ij}$ -- линейно независимы. Рассмотрим произвольный тензор $ D\in\mathcal{T}^{(0,2)}(\mathcal{M}).$ Обозначим

$\displaystyle D_{ij}\equiv D(\partial_i,\partial_j). $

Тогда этот тензор единственным образом представляется в виде разложения:

$\displaystyle D=D_{ij}\omega^{ij}, $

что проверяется действием левой и правой части на произвольную пару векторов, записанных в виде их разложений в базисе $ \partial.$ К примеру действие правой части в силу определения $ \omega^{ij}$ , определения (14) и общих свойств базисов $ dx$ и $ \partial$ приведет к результату:

$\displaystyle D(X,Y)=D_{ij}X^iY^j $

-- координатному правилу вычисления действия тензора $ D$ на пару векторов $ X,Y.$ Из этого представления очевидно, что в каждой точке тензор $ D\in\mathcal{T}^{(0,2)}(\mathcal{M})$ определяет обычную билинейную форму, при этом ее компоненты $ D_{ij}$ зависят от выбора точки многообразия. Вспоминая о дуальности векторных полей и полей 1-форм и о соотношении $ \mathfrak{V}^{\ast\ast}(\mathcal{M})=\mathfrak{V}(\mathcal{M}),$ нетрудно построить дуальный векторный аналог пространства $ \mathcal{T}^{(2,0)}(\mathcal{M}).$ Простым или разложимым элементов этого пространства является тензорное произведение $ X\otimes Y$ пары векторов, которое определяется своим действием на произвольную пару 1-форм:

$\displaystyle (X\otimes Y)(\omega_1,\omega_2)=X(\omega_1)Y(\omega_2)\equiv \omega_1(X)\omega_2(X) $

со свойствами $ \mathfrak{F}(\mathcal{M})$ -линейности по каждому аргументу. Тензоры такого типа являются элементами пространства тензоров $ \mathcal{T}^{(0,2)}(\mathcal{M}).$ Повторяя дословно все предыдущие построения и выкладки, приходим к координатному представлению любого тензора $ Q\in \mathcal{T}^{(0,2)}(\mathcal{M})$ :

$\displaystyle Q=Q^{ij}\partial_i\otimes\partial_j, $

где $ Q^{ij}\equiv Q(dx^i,dx^j),$ а множество $ \{\partial_i\otimes\partial_j\}$ образует координатный базис в $ \mathcal{T}^{(0,2)}(\mathcal{M}).$ Построение общей конструкции тензора типа $ (r,s)$ теперь очевидно.
Рассмотрим $ \mathfrak{F}(\mathcal{M})$ -полилинейное отображение

$\displaystyle T: \underbrace{\mathfrak{V}(\mathcal{M})\times\dots\times \mathfr... ...mes\dots\times \mathfrak{V}^\ast(\mathcal{M})}\limits_{s\quad\text{раз}}\to R, $

где $ r$ и $ s$ -- любые неотрицательные вещественные числа. Такое отображение определяет элемент пространства $ \mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M}),$ называемого пространством тензоров валентности $ (r,s).$
У каждого тензора такой валентности имеется $ r$ векторных аргументов и $ s$ аргументов в виде 1-форм. В координатах такой тензор представляется разложением вида:

$\displaystyle T=T^{\beta_1\dots\beta_s}_{\alpha_1\dots\alpha_r} (dx^{\alpha_1}\... ...dx^{\alpha_r}\otimes\partial_{\beta_1} \otimes\dots\otimes\partial_{\beta_s}), $

где $ T^{\beta_1\dots\beta_s}_{\alpha_1\dots\alpha_r} \equiv T(\partial_{\alpha_1},\dots,\partial_{\alpha_r},dx^{\beta_1},\dots,dx^{\beta_s})$ -- компоненты тензора в базисе $ \{dx,\partial\},$ $ (dx^{\alpha_1}\otimes\dots\otimes dx^{\alpha_r}\otimes\partial_{\beta_1}\otimes\dots\otimes\partial_{\beta_s})$ -- базис в пространстве $ \mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M}).$ Действие тензора на свои аргументы в координатах записывается в виде суммы:

$\displaystyle T(X_1,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s)=T^{\beta_1\dots\beta_s}_... ...alpha^1}\cdots X_r^{\alpha_r}(\omega_1)_{\beta_1}\cdots(\omega_s)_{\beta_{s}}. $

Разумеется 1-формы и векторы сами являются тензорами валентностей $ (1,0)$ и $ (0,1)$ соответственно, а скалярные функции формально являются элементами пространства тензоров нулевого ранга $ \mathcal{T}^{(0,0)}(\mathcal{M}).$ Рассмотрим теперь основные операции над тензорами.
  1. Тензорное произведение тензоров. Операция тензорного произведения определяет отображение вида:

    $\displaystyle \otimes: \mathcal{T}^{(r_1,s_1)}(\mathcal{M})\times\mathcal{T}^{(r_2,s_2)}(\mathcal{M}) \to\mathcal{T}^{(r_1+r_2,s_1+s_2)}(\mathcal{M}), $

    такое, что любой паре тензоров $ T_1\in\mathcal{T}^{(r_1,s_1)}$ и $ T_2\in\mathcal{T}^{(r_2,s_2)}$ она ставит в соответствие тензор $ T_1\otimes T_2\in\mathcal{T}^{(r_1+r_2,s_1+s_2)},$ причем его значение на любых $ r_1+r_2$ векторах $ X_{i}$ и $ s_1+s_2$ 1-формах определяется по правилу:

    $\displaystyle (T_1\otimes T_2)(X_1,\dots,X_{r_1},\dots, X_{r_1+r_2},\omega_1,\dots,\omega_{s_1},\dots\omega_{s_1+1},\dots,\omega_{s_1+s_2})\equiv $

    $\displaystyle T_{1}(X_1,\dots,X_{r_1},\omega_1,\dots,\omega_{s_1})T_2(X_{r_1+1},\dots,X_{r_1+r_2},\omega_{s_1+1},\dots,\omega_{s_1+s_2}). $

    Например, если $ T_1\in \mathcal{T}^{(2,0)}(\mathcal{M}),$ $ T_2\in\mathcal{T}^{(0,1)}(\mathcal{M}),$ то

    $\displaystyle (T_1\otimes T_2)(X,Y,\omega)=T_1(X,Y)T_2(\omega). $

    Компоненты тензорного произведения тензоров равны произведению соответствующих компонент сомножителей (докажите!). Например для приведенного выше примера:

    $\displaystyle (T_1\otimes T_2)_{ij}^k=(T_1)_{ij}(T_2)^k. $

    Полагая один из сомножителей тензорного произведения скалярной функцией, приходим к операции умножения тензора на скаляр, свойства которой очевидны. Отметим, что тензорное произведение, вообще говоря, некоммутативно: $ \quad T_1\otimes T_2\neq T_2\otimes T_1.$
  2. Сумма тензоров. Суммой тензоров одинаковой валентности называется тензор той же валентности, значение которого на его аргументах равно по определению сумме значений слагаемых на тех же аргументах:

    $\displaystyle (T_1+T_2)(X_1,\dots,X_{r},\omega_1,\dots,\omega_{s})\equiv T_{1}(... ...r},\omega_1,\dots,\omega_{s})+T_{2}(X_1,\dots,X_{r},\omega_1,\dots,\omega_{s}) $

    для всех $ T_1,T_2\in T_1\in\mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M})$ и для всех $ r$ и $ s.$ Проверьте, опираясь на это определение, что координаты суммы тензоров равны сумме соответствующих координат слагаемых. Проверьте также, что сумма тензоров дистрибутивна относительно умножения на скаляры:

    $\displaystyle f(T_1+T_2)=fT_1+fT_2 $

    для всех тензоров $ T_1$ и $ T_2$ любой одинаковой валентности и любой скалярной функции $ f$ на $ \mathcal{M}.$
  3. Свертка или внутреннее произведение тензоров. Для любого тензора $ T\in\mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M}),$ у которого $ r>0$ и $ s>0$ определена операция свертки:

    $\displaystyle C^{s_1}_{r_1}: \mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M})\to\mathcal{T}^{(r-1,s-1)}(\mathcal{M}), $

    действующая по правилу:

    $\displaystyle (C^{s_1}_{r_1}T)(X_1,\dots,\widehat{X_{r_1}},\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_{1},\dots,\widehat{\omega_{s_1}},\dots,\omega_{s}) \equiv$ (15)

    $\displaystyle T(X_1,\dots,\partial_i,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_{1},\dots,dx^i,\dots,\omega_{s}). $

    Здесь $ 0<r_1\le r$ и $ 0<s_1\le s,$ шляпка над аргументом означает, что он отсутствует, а по индексу $ i$ производится суммирование. В координатах $ C^{s_1}_{r_1}$ -свертка тензора осуществляется приравниванию $ r_1$ -ого нижнего индекса $ s_1$ -ому верхнему и суммированию по всем значениям этого одинакового индекса от $ 1$ до $ m.$ Например, для разобранного в п.1 примера:

    $\displaystyle (C^{1}_2(T_1\otimes T_2))_\alpha\equiv (T_1)_{\alpha\beta}(T_2)^\beta. $

    Ввиду согласованного (взаимно-обратного) закона преобразования базисов $ dx$ и $ \partial x,$ определение свертки не зависит от конкретного выбора базиса (проверьте!)
Сделаем в заключении этого параграфа несколько замечаний.
  1. Замечательная особенность всех введенных алгебраических операций заключается в том, что тензоры при таких операциях переходят в новые тензоры. В физике тензоры используются для представления физических величин в физических уравнениях, удовлетворяющих условию их независимости от выбора системы координат. Таким образом, рассмотренные нами операции представляют собой "разрешенные правила игры" в "тензорный конструктор": например операцию суммы тензоров можно использовать для инвариантного описания принципа аддитивности или принципа суперпозиции, а тензорное произведение -- для определения составных (неэлементарных) тензорных физических величин. Примером "запрещенной" операции является, например, операция, заключающаяся в суммировании всех компонент тензора. Полученное число, вообще говоря, не будет тензором (в данном случае скаляром) и его значение в одной системе координат, вообще говоря, не будет совпадать с суммой компонент в какой-нибудь другой системе координат. Для полноты алгебру тензоров следует дополнить тензорным анализом, включающем в себя дифференциальные операции, переводящие тензоры в тензоры. К их числу относятся, например, ковариантная производная, внешний дифференциал, производная Ли. В настоящих лекциях мы рассмотрим далее лишь последнюю операцию.
  2. Операция $ \otimes$ позволяет рассматривать множество тензоров всех валентностей $ \mathcal{T}(\mathcal{M})$ как градуированную тензорную алгебру над $ \mathcal{M}$ :

    $\displaystyle \mathcal{T}(\mathcal{M})\equiv\bigoplus\limits_{r,s}\mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M}). $

    Здесь $ \oplus$ -- символ стандартной прямой суммы линейных пространств. Действительно, множество $ \mathcal{T}(\mathcal{M})$ замкнуто относительно операции $ \otimes,$ при этом любой тензор относится к какому-то определенному типу, задаваемому парой чисел $ (r,s),$ определяющей $ \mathbb{Z}^2_+$ -градуировку.
  3. Тензорное поле является гладким, если его значение на любых гладких аргументах является гладкой скалярной функцией. Тензорное поле гладко тогда и только тогда, когда его компоненты в некоторой системе координат являются гладкими функциями на $ \mathcal{M}.$
  4. Можно рассмотреть и другие интерпретации тензоров $ \mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M}).$ К примеру тензор $ P$ валентности $ (1,1)$ в соответствии с нашим определением мы должны рассматривать как отображение векторного поля и 1-формы в скалярную функцию. Но можно посмотреть на эту ситуацию иначе. Значение $ P$ на векторе $ X$ является таким, объектом, который действуя на любую один форму даст скаляр. Но таким свойством обладают только векторы. Значит помимо интерпретации

    $\displaystyle P: \mathfrak{V}(M)\times\mathfrak{V}^\ast(M)\to\mathfrak{F}(\mathcal{M}), $

    существует равноправная интерпретация:

    $\displaystyle P: \mathfrak{V}(M)\to\mathfrak{V}(M), $

    позволяющая рассматривать тензорное поле $ P$ как поле линейного оператора или аффиннора. Компонентная запись делает это наблюдение явным:

    $\displaystyle Y^\alpha=P^\alpha_\beta X^\beta, $

    поскольку представляет собой обычное правило записи действия оператора в матричной компонентной форме. Аналогичная смена интерпретации возможна и для тензоров всех других валентностей, отличных от $ (0,0),$ $ (1,0)$ , $ (0,1).$
  5. Тензор $ S\in\mathcal{T}^{(r,0)}(\mathcal{M})$ называется симметричным (антисимметричным), если его значение не меняется при любой (четной) перестановке его аргументов (а при любой нечетной оно меняет знак). Аналогичное определение имеет место и для тензоров валентности $ (0,s).$ Тензор может быть симметричным или антисимметричным по некоторому подмножеству аргументов (или одновременно симметричным по одному подмножеству аргументов и антисимметричным по другому). При этом тензор смешанного типа $ (r,s)$ может быть симметричным или антисимметричным по векторам или 1-формам по отдельности, но не имеет никакого смысла симметризация или антисимметризация тензора по аргументам различных типов.
  6. С групповой точки зрения тензоры на многообразии являются различными, вообще говоря, приводимыми линейными представлениями группы общекоординатных преобразований. При этом их разбиения на симметричные или антисимметричные соответствует разложению общего линейного представления на неприводимые относительно действия группы $ P_r\times P_s$ компоненты (схемы Юнга). Здесь $ P_r$ и $ P_s$ -- группы перестановок, действующие на аргументы тензора валентности $ (r,s).$
След.: 6.  Отображения многообразий и Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 4.  Касательное и кокасательное