• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение и обозначения


• 2. Гладкие многообразия


• 3. Скалярные функции и векторные поля


• 4. Касательное и кокасательное пространства. 1-формы.


• 5. Тензоры


• 6. Отображения многообразий и геометрических объектов


• 7. Интегральные кривые векторных полей и потоки на многообразиях


• 8. Производная Ли и ее свойства


• 9. Координатные формулы для производной Ли


• 10. Применения производной Ли (1): интегрирование дифференциальных уравнений.


• 11. Применения производной Ли (2): тензор деформаций и изометрии многообразия


• 12. Применения производной Ли (3): группа движений пространства Минковского


• 13. Применения производной Ли (4): изометрии римановых метрик


• 14. Применения производной Ли (5): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой метрик $(n>2)$


• 15. Применения производной Ли (6): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой плоскости.


• 16. Применения производной Ли (7): группа изометрий однородных кубических метрик
• 16.1. Метрики с $\tau (G)=\tau _0(G)=1$ (2 типа)
• 16.2. Метрики с $\tau (G)=2$ (7 типов)
• 16.3. Метрики с $\tau (G)=3$ (13 типов)
• 16.4. Метрики с $\tau (G)=4$ (10 типов)
• 16.5. Метрики с $\tau (G)=5$ (5 типов)
• 16.6. Метрики с $\tau (G)=6.$
• 16.7. Метрики с $\tau (G)=6,7,8,9,10.$
• 16.8. Инвариантная классификация метрик с нетривиальными изометриями
• 16.9. Аффинно-специальные метрики


• Литература

14.  Применения производной Ли (5): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой метрик $(n>2)$

Рассмотрим теперь ситуацию, которая слегка обобщает непрерывные симметрии и, в частности, изометрии. Пусть $T$ -- тензорное поле некоторой валентности и пусть $X$ -- векторное поле, поток $\phi^t_X$ которого действует на тензорное поле $T$ так, что выполняется равенство:

$$(\phi_X^t)^\ast T_{\phi^t(p)}=f(t,p)T_p,$$

где $f(t,p)$ -- некоторая гладкая функция $R\times\mathcal{M}\to R.$ В случае, если $f\equiv1,$ мы имеем стандартную лиеву симметрию тензора $T$ : $L_XT=0.$ В случае $f(t,p)\neq1,$ производная Ли тензора $T$ имеет вид:

$$L_XT\equiv\lim\limits_{t\to0}\frac{(\phi_X^t)^\ast T_{\phi^t(p)}-T_p}{t}= T_p\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t,p)-1}{t}=\Phi T,$$ (61)

где $\Phi=\partial_t f\vert _{t=0}.$ Симметрия тензорного поля $T,$ описываемая уравнением (61), называется конформной симметрией, а векторное поле $X$ называется полем конформной симметрии тензорного поля $T.$ Конформная симметрия тензорных поле обобщает лиеву симметрию, которая описывается более простым уравнением $L_XT=0.$ Кроме преобразований лиевой симметрии (при $f=1$ и $\Phi=0$ ), конформная симметрия включает такие преобразования, которые оставляют неизменными все характеристические направления тензорного поля в каждой точке (например собственные направления симметричных тензоров валентности два), но может изменять длины характеристических векторов и значения характеристических скаляров (например длин собственных векторов и собственных значений симметричных тензоров валентности два). С физической точки зрения конформные преобразования осуществляют переходы между системами отсчета в ситуациях, когда единичные масштабы по каким-либо причинам установить невозможно или они несущественны для круга решаемых задач. Примером подобной ситуации является мир световых сигналов в СТО или в ОТО: 4-мерные длины, измеренные вдоль световых лучей, равны нулю. Полной группой симметрии такого мира будет не группа Пуанкаре, а конформная группа, оставляющая инвариантными светоподобные интервалы и световые конуса, а не 4-мерные псевдоевклидовы интервалы. Разумеется такая группа будет включать в себя группу Пуанкаре. Преобразования из группы конформных симметрий, не принадлежащие группе Пуанкаре (или соответствующей группе изометрий для $\mathcal{M}_{p,q}$ ), будем называть собственными конформными преобразованиями. В настоящем разделе мы вычислим такие собственные конформные преобразования для пространства $\mathcal{M}_{p,q}$ при $p+q>2.$ Для метрики (57) конформные уравнения Киллинга (61) для поля конформной симметрии $Z=X^\alpha(x,y)\partial_{\alpha}+Y^\beta(x,y)\partial_{\beta}$ принимают вид:

$$2\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\alpha}=\Phi;\quad 2\frac{\partial Y^\beta}{\partial y^\beta}=\Phi;$$ (62)

$$\frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma}+\frac{\partial X^\sig... ...rtial X^\alpha}{\partial y^\beta}+\frac{\partial Y^\beta}{\partial x^\alpha}=0.$$ (63)

Вычисляя смешанные вторые производные $\partial/\partial x^\alpha \partial x^\sigma,$ $\partial/\partial y^\beta \partial y^\gamma$ и $\partial/\partial x^\alpha \partial y^\beta$ от левых частей соответственно первого, второго и третьего уравнений (63) с учетом уравнений (62), приходим к условиям на $\Phi$ :

$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^\alpha\partial x^\alpha}-\frac{\... ...\partial y^\beta}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial y^\gamma\partial y^\gamma}=0.$$

Из этих условий непосредственно следует, что функция $\Phi$ линейна по переменным $x$ и $y$ и может быть представлена в виде:

$$\Phi=2(A\cdot x)+2B\cdot y+2d,$$ (64)

где $A$ и $B$ -- соответственно числовые $p$ и $q$ -- векторы, $d$ -- вещественная константа, а точка означает евклидово скалярное произведение. Интегрируя теперь уравнения (62) с правой частью в виде (64), мы получаем следующее представление компонент поля конформной симметрии:

$$X^\alpha=(A\cdot x)'x^\alpha+\frac{A^\alpha(x^\alpha)^2}{2}+(B\cdot y)x^\alpha +Dx^\alpha +\varphi^\alpha;$$ (65)

$$Y^\beta=(B\cdot y)'y^\beta+\frac{B^\beta(y^\beta)^2}{2}+(A\cdot x)y^\beta +Dy^\beta +\psi^\beta,$$ (66)

где $\varphi^\alpha$ и $\psi^\beta$ -- семейства пока еще неопределенных функций, удовлетворяющих условиям: $\partial\varphi^\alpha/\partial x^\alpha=0,$ $\partial \psi^\beta/\partial y^\beta=0$ (суммирования по повторяющимся индексам нет!). Штрих у скалярного произведения обозначает его неполный характер: в сумме произведений компонент скалярного произведения слагаемое с номером $\alpha$ или с номером $\beta$ отсутствует. Подставляя полученный общий вид полей в оставшиеся уравнения (63), приходим к следующим уравнениям на неизвестные функции $\varphi^\alpha$ и $\psi^\beta$ :

$$\frac{\partial\varphi^\alpha}{\partial x^\sigma}+\frac{\partial\v... ...\frac{\partial\psi^\beta}{\partial x^\alpha}=A^\alpha y^\beta+B^\beta x^\alpha.$$ (67)

Ввиду того, что нас интересуют только собственные конформные преобразования, достаточно найти только частные решения неоднородных уравнений (67), опуская общие решения однородных уравнений, отвечающих за уже найденные ранее изометрии. Искомые частные решения имеют вид:

$$\varphi^\alpha=-\frac{A^\alpha}{2}(s^2-(x^\alpha)^2);\quad \psi^\beta=\frac{B^\beta}{2}(s^2+(y^\beta)^2),$$ (68)

где $s^2\equiv\sum\limits_{\sigma=1}^p(x^\sigma)^2-\sum\limits_{\gamma=1}^q(y^\gamma)^2.$ Окончательно, подставляя выражения (68) в (65) и (66) после некоторых упрощений приходим к следующему выражению компонент поля собственных конформных симметрий пространства $\mathcal{M}_{p,q}$ :

$$X^\alpha=(A\cdot x)x^\alpha-\frac{A^\alpha}{2}s^2+(B\cdot y)x^\alpha +Dx^\alpha;$$ (69)

$$Y^\beta=(B\cdot y)y^\beta+\frac{B^\beta}{2}s^2+(A\cdot x)y^\beta +Dy^\beta.$$ (70)

Проверьте самостоятельно, что собственные конформные симметрии образуют алгебру относительно скобки Ли. Из формул (69)-(70) легко подсчитать ее размерность: она равна числу независимых произвольных постоянных параметров, входящих в выражения для поля симметрии. Таким образом размерность алгебры собственных конформных симметрий $\mathcal{M}_{p,q}$ равна $n_C=p+q+1.$ Для пространства Минковского мы имеем $n_C=5,$ что в совокупности с 10-параметрической группой Пуанкаре дает полную 15-параметрическую конформную группу $\mathcal{M}_{1,3}.$ Отметим, что поле вида (69)-(70) с $A=B=0$ и $D\neq0$ отвечает за однородные растяжения пространства-времени. Поля с $A\neq0$ и (или) $B\neq0$ -- это нелинейные преобразования пространства $\mathcal{M}_{p,q},$ включающие инверсию относительно единичных метрических сфер пространств $\mathcal{M}_{p,q}.$ Отметим, что классический координатный подход к исследованию конформных симметрий выглядит существенно более громоздко [24]. След.: 15.  Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 13.  Применения производной Ли